\documentclass{jsarticle}
\begin{document}
\large

\begin{center}

数学$I_A$前期試験　理科１類５，６，１５，２９組　（担当　上村）
\\２００４年９月１日（水）１０：５０〜１２：２０
\\両面解答用紙２枚　計算用紙１枚
\vspace{1zw}
\\（注）教科書、ノート類の持ち込みはしてはいけない。

\end{center}

\underline{問１} 次の命題は正しいか誤りかを判定し,正しければ証明し誤りならば反例を挙げよ。
\vspace{1zw}

（１）　数列$\{ a_n \} _{n=1}^{\infty}$が$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} n^2 \left( a_n -a_{n-1} \right) =1$をみたせば，
数列$\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}$は収束する。
\vspace{0.5zw}

（２）　$f$が$\mathbf{R} ^2$上の偏微分可能な関数で，$\varphi$と$\psi$が$\mathbf{R}$上の微分可能な関数ならば，
$F(t)=f\left( \varphi (t) \,,\, \psi (t) \right)$で定まる関数$F$は$\mathbf{R}$上の微分可能な関数になる。
\vspace{1zw}

\underline{問２}　$z=z(x,y)$が$\mathbf{R}^2$上の$C^2$級関数で$xf(z)+g(z)=y$なる関係式を満たしている（ただし，$f,g$は
$\mathbf{R}$上の$C^1$級関数とする）とき
\vspace{0.5zw}

（１）$z$は$z_x +f(z)z_y =0$を満たすことを示せ。ただし，ここで$z_x,z_y$は$z=z(x,y)$の偏導関数を表す。
\vspace{0.5zw}

（２）$z$は$z_y^2 z_{xx} - 2z_x z_y z_{xy} +z_{x}^2 z_{yy} =0$を満たすことを示せ。ただし，ここで
$z_{xx},z_{xy},z_{yy}$は$z=z(x,y)$の２階の偏導関数を表す。
\vspace{1.5zw}

\underline{問３}　$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} (3,1) =1$，
$\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} (3,1)=-1$なる$\mathbf{R}^2$上の$C^2$級の関数$f=f(x,y)$に対し
\[ F(u,v)=f(u+v,u-v) \]
とおくとき
\vspace{0.5zw}

（１）$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u} + \frac{\partial F}{\partial v}$の$(u,v)=(2,1)$における値を求めよ。
\vspace{0.5zw}

（２）$\displaystyle \frac{\partial ^2 F}{\partial u^2} - \frac{\partial ^2 F}{\partial v^2}$の$(u,v)=(2,1)$における値を求めよ。
\vspace{1.5zw}

\underline{問４}　$|x|<1$において　$\displaystyle \frac{\log (1+x)}{1-x} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$が成り立つように定数
$a_{n} \, (n=1,2, \dots)$を定めるとき
\vspace{0.5zw}

（１）$a_1 , a_2 , a_3$の値を求めよ。
\vspace{0.5zw}

（２）$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$の値を求めよ。
\vspace{1.5zw}

\underline{問５}　関数$f(x,y)=x^3+3xy^2-3x$の極値を求めよ。
 
\newpage

問１

（１）正しい：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2(a_n-a_{n-1})=1$より、$\forall \varepsilon >0$に対して

$n>N \Rightarrow 1-\varepsilon <n^2(a_n -a_{n-1})<1+\varepsilon $となる自然数$N$が存在する。

ここで$\varepsilon =1$として$\displaystyle 0<a_{n}-a_{n-1}<\frac{2}{n^2}$ 
\vspace{1zw}

１，コーシーの判定法

$n>m>N$として$ \displaystyle |a_n-a_m|=|a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-a_{n-2}+\dots +a_{m+1}-a_m| \\
\leq |a_n-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}|+\dots+|a_{m+1}-a_{m}| \\
< \frac{2}{n^2}+\frac{2}{(n+1)^2}+\dots+\frac{2}{(m+1)^2} \\
< \frac{2}{n(n-1)}+\frac{2}{(n-1)(n-2)}+\dots+\frac{2}{(m+1)m} \\
=-\frac{2}{n}+\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n-1}+\frac{2}{n-2}-\dots-\frac{2}{m+1}+\frac{2}{m}=\frac{2}{m}-\frac{2}{n}<\frac{2}{m}$

よって$\forall \varepsilon '>0$に対して$\displaystyle N>\frac{2}{\varepsilon '}$と自然数$N$をとれば
$\displaystyle n>m>N \Rightarrow |a_n-a_m|<\frac{2}{m}<\frac{2}{N}<\varepsilon '$となる。

よってコーシーの判定法より$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束する。
\vspace{1zw}

２，上に有界な単調増加数列は収束する

$\displaystyle N<n \Rightarrow 0<a_n-a_{n-1}<\frac{2}{n^2}$より$\{a_n\}_{n=N}^{\infty}$は単調増加数列

また$n>N$のとき$ \displaystyle a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\dots +(a_{N+1}-a_N)+a_N \\
< \frac{2}{n^2}+\frac{2}{(n-1)^2}+\dots+\frac{2}{(N+1)^2} +a_N \\
< \frac{2}{n(n-1)}+\frac{2}{(n-1)(n-2)}+\dots+\frac{2}{(m+1)m} +a_N \\
=\frac{2}{m}-\frac{2}{n}+a_N<\frac{2}{N}+a_N$よって$\{a_n\}_{n=N}^{\infty}$は上に有界かつ単調増加数列

よって$\{a_n\}_{n=N}^{\infty}$は収束するので$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$も収束する。

\vspace{1zw}

（２）２００５年度「稲垣」様のシケプリ「講義内容編」の１７ページ目にあるように、授業で反例を出されております。

誤り：$ \displaystyle f(x,y)= \Biggl\{ \begin{array}{cc} \frac{\phi \psi }{\phi ^2+\psi ^2} & (\phi ,\psi )\neq (0,0) \\
0 & (\phi ,\psi )=(0,0) \end{array} \Biggr. $　で　$\phi (t)=t ,\psi (t)=t$とすると、これは条件をみたすが

$\displaystyle f(\phi (t),\psi (t))=F(t)=\Biggl\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & (t \neq 0) \\ 0 & (t=0) \end{array} \Biggr.$

よって$F(t)$は$\mathbf{R}$上で連続ですらない。微分可能ならば連続なので、微分可能ではない。
\vspace{1.5zw}

問２ $z$はそのまま$x,y$で偏微分されます。一方$f,g$の$x,y$での偏微分は$\displaystyle \frac{\partial f(z)}{\partial x}=\frac{\partial f(z)}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} =f'(z)z_x$
，$\displaystyle \frac{\partial f(z)}{\partial y}=\frac{\partial f(z)}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y} =f'(z)z_y$
，$\displaystyle \frac{\partial g(z)}{\partial x}=\frac{\partial g(z)}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} =g'(z)z_x$
，$\displaystyle \frac{\partial g(z)}{\partial y}=\frac{\partial g(z)}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y} =g'(z)z_y$
となります。また積の微分法$\displaystyle \frac{\partial fg}{\partial x} =g\frac{\partial f}{\partial x}+f\frac{\partial g}{\partial x}$を使います。
\vspace{1zw}

（１）$xf(z)+g(z)=y$を$x,y$で偏微分して
$f(z)+xf'(z)z_x+g'(z)z_x=0$−(1)

$xf'(z)z_y+g'(z)z_y=1$−(2)

(1)$\times z_y -$(2)$\times z_x$より$f(z)z_y+z_x=0$が導かれる。
\vspace{0.5zw}

（２）$z_x+f(z)z_y=0$を$x,y$で偏微分して

$z_{xx}+f'(z)z_xz_y+f(z)z_{yx}=0$−(3)

$z_{xy}+f'(z)z_yz_y+f(z)z_{yy}=0$−(4)

$f'(z)$を$(3)\times z_y - (4)\times z_x$で消去して

$(z_yz_{xx}-z_{x}z_{xy})+f(z)(z_yz_{yx}-z_xz_{yy})=0$

両辺に$z_{y}$をかけ、$f(z)z_y=-z_x$で$f(z)$を消去して

$z_y^2 z_{xx}-2z_x z_y z_{xy} +z_x^2z_{yy}=0$

（この問題は教科書１５２ページ：演習問題５６です）
\vspace{1.5zw}

問３

（１）$x=u+v,y=u-v$として$F(u,v)=f(u+v,u-v)=f(x,y)$

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial v}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}
+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}
=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}=2\frac{\partial f}{\partial x}$

よって$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u}(2,1)+\frac{\partial F}{\partial v}(2,1)=2\frac{\partial f}{\partial x}(2+1,2-1)=2 \times 1=2$

補足：$x,y$の代わりに、例えば$s=u+v,t=u-v$としていれば$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u}(2,1)+\frac{\partial F}{\partial v}(2,1)=2\frac{\partial f}{\partial s}(2+1,2-1)$
だが、第一変数の微分という意味で$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}$となるので問題はない。

（２）

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial v}=2\frac{\partial f}{\partial x}$を$u,v$で偏微分して

$\displaystyle \frac{\partial ^2 F}{\partial u^2} +\frac{\partial ^2 F}{\partial u \partial v}
=\frac{\partial }{\partial x} \left( 2 \frac{\partial f}{\partial x} \right) \frac{\partial x}{\partial u}
+\frac{\partial }{\partial y} \left( 2 \frac{\partial f}{\partial x} \right) \frac{\partial y}{\partial u}
=2 \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}+2 \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}$

$\displaystyle \frac{\partial ^2 F}{\partial v \partial u} +\frac{\partial ^2 F}{\partial v^2}
=\frac{\partial }{\partial x} \left( 2 \frac{\partial f}{\partial x} \right) \frac{\partial x}{\partial v}
+\frac{\partial }{\partial y} \left( 2 \frac{\partial f}{\partial x} \right) \frac{\partial y}{\partial v}
=2 \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}-2 \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}$

$\displaystyle \frac{\partial ^2 F}{\partial u^2} - \frac{\partial ^2 F}{\partial v^2} = 
 \left( \frac{\partial ^2 F}{\partial u^2} + \frac{\partial ^2 F}{\partial u \partial v} \right)
 - \left( \frac{\partial ^2 F}{\partial v \partial u} + \frac{\partial ^2 F}{\partial v^2} \right) $

（$f$は$x,y$を変数とする$C^2$級関数、$x,y$は$u,v$を変数とする$C^2$級関数なので、その合成関数$F$は
$u,v$を変数とする$C^2$級関数だから$\displaystyle \frac{\partial ^2 F}{\partial u \partial v}=\frac{\partial ^2 F}{\partial v \partial u}$
　←講義内容編１８ページ：系３参照）

$\displaystyle =4\frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}= 4\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}$（$f$は$C^2$級関数だから）

よって$\displaystyle \frac{\partial ^2 F}{\partial u^2}(2,1)-\frac{\partial ^2 F}{\partial v^2}(2,1)=4\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}(2+1,2-1)=-4$

（この問題は教科書１５２ページ：演習問題５０です）
\vspace{1.5zw}

問４　
（１）$|x|<1$なので$\displaystyle \log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots +\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\dots =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k$

$\displaystyle \frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}=1+(-1)(-x)^+\frac{(-1)(-2)}{2!}(-x)^2+\dots +\frac{(-1)^nn!}{n!}(-x)^n+\dots =\sum_{i=0}^{\infty} x^i$

よって$\displaystyle \frac{\log (1+x)}{1-x}=\left( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k \right) \left( \sum_{i=0}^{\infty} x^i \right)
=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^{k+i} \right)
=\sum_{n=1}^{\infty} \left( x^n \times \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \right)$

$\longleftarrow (i+k=nとなる項でまとめた)$

よって$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$より$\displaystyle a_1=1,\,a_2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},\,a_3=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$

\vspace{0.5zw}

（２）$\displaystyle \log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots $

これは$-1<x\leq 1$で成立する。$x=1$を代入し，右辺が$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n $に一致するので$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\log 2$

\vspace{1.5zw}

問５

$f_x(x,y)=3x^2+3y^2-3,\,f_y(x,y)=6xy$

よって$f_x(x,y)=0$かつ$f_y(x,y)=0\,\,\Leftrightarrow \,\,x^2+y^2-1=0$かつ$xy=0$

これより極値を取る点の候補は$ (x,y)=(0,\pm 1),(\pm 1,0)$

$f_{xx}=6x,f_{xy}=6y,f_{yy}=6x$

これより$Hesse$行列$H$は、$H=\left( \begin{array}{cc} 6x & 6y \\ 6y & 6x \end{array} \right)$

$(x,y)=(0,\pm 1)$では$H=\left( \begin{array}{cc} 0 & \pm 6 \\ \pm 6 & 0 \end{array} \right)$

$ab-h^2=36<0$

$(0,\pm 1)はfのsaddle\,point$

$(x,y)=(1,0)$では$H=\left( \begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array} \right)$

$ab-h^2=36>0$で$a>0$

$\displaystyle f( 1,0) =-2だから、fは( 1,0) で極小値-2をとる。$

$(x,y)=(-1,0)$では$H=\left( \begin{array}{cc} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{array} \right)$

$ab-h^2=36>0$で$a<0$

$\displaystyle f( -1,0) =2だから、fは(-1,0) で極大値2をとる。$

\newpage

\end{document}