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数学$I_A$前期試験　理科１類５，６，１４，１５組　（担当　上村）
\\２００２年９月４日（水）１０：５０〜１２：２０
\\両面解答用紙２枚　計算用紙１枚
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\\（注）教科書、ノート類の持ち込みはしてはいけない。

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\underline{問１}　$f(x,y)$は集合$ \bigl\{ (x,y) \bigm| -1\leq x,y\leq 1 \bigr\} $で定義された関数で、
各$x\in \bigl[ -1,1 \bigr] $に対し
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} f(x,y) $が存在する。
このとき、次の命題は正しいか誤りかを判定し、正しければ証明し誤りならば反例を挙げよ。
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（１）　$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0} f(x,y) \right) $が存在すれば
$ \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) $が存在し、この二つの極限値は等しい。
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（２）　$ \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) $が存在すれば
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0} f(x,y) \right) $
が存在し、この二つの極限値は等しい。
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\underline{問２}　$w$を$2ww''=3(w')^2$をみたす$\mathbf{R}$上の（１変数）関数とする。（ただし$w'$,$w''$は$w$の１階および２階の導関数を表す）とき
$f(x,y)=x^{2}w(xy)$は$\mathbf{R} ^2$において 
\[ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} \]
をみたすことを示せ。
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\underline{問３}　$z$を$xy$平面内の領域$\bigl\{ (x,y) \bigm| x,y>0 \bigr\} $上の関数とするとき$z$が$x^2+y^2$の$C^1$級関数である
（すなわち、$C^1$級関数$F$で$ z=F(x^2+y^2) $と書ける）ためには$z$が$x,y$の$C^1$級関数で
$\displaystyle y \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} =0$をみたすことが必要十分条件である。これを示せ。
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ヒント：方程式$\displaystyle y \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} =0$を
$u=x^2+y^2$,$v=x^2-y^2$で変換せよ。
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\underline{問４}　（１）$x=0$を含む区間で$ \displaystyle x=\sum_{n=1}^{ \infty } a_n (e^x -1)^n $が成り立つように定数$a_n (n=1,2, \dots )$を定めよ。
また、この式が成り立つ$x$の範囲を記せ。
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（２）$x \to 0 $のとき，$ \displaystyle \frac{x}{e^x -1} =a+bx+cx^2+dx^3+o(x^3)$となるように定数$a,b,c,d$を定めよ。
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\underline{問５}　関数$f(x,y)=x^3-6xy+8y^3$の極値を求めよ。
 
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問１

（１）誤り：例は$\displaystyle f(x,y)= \Biggl\{ \begin{array}{cl} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y)\neq(0,0)のとき \\
 0 & (x,y)=(0,0)のとき \end{array} \biggr.$　など

$x=0$のとき$\displaystyle \lim_{y \to 0} f(x,y) =0$，$x \neq 0$のとき$\displaystyle \lim_{y \to 0} f(x,y)=0$，よって
$\displaystyle \lim_{x \to 0} ( \lim_{y \to 0} f(x,y))=0$と極限値が存在するが
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$は$x=y=t$の場合に限っても
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$と一致しない。

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（２）　正しい：$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=\alpha $とすると
$\forall \varepsilon >0$に対して$\delta >\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow |f(x,y)-\alpha |<\varepsilon $となる$\delta $が存在する。

よって$\displaystyle |x-0|<\frac{\delta }{\sqrt{2}}$のもとでは$\displaystyle \delta '=\frac{\delta}{\sqrt{2}}$として

$\displaystyle |y-0|<\delta ' \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}<\delta $
より$|f(x,y)-\alpha |<\varepsilon $
すなわち$\displaystyle \lim_{y \to 0}f(x,y)=\alpha $

よって$\displaystyle \delta ''=\frac{\delta }{\sqrt{2}}$として$\displaystyle |x-0|<\delta ''\Rightarrow |\lim_{y \to 0}f(x,y)-\alpha |=0<\varepsilon $

すなわち$\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0}f(x,y) \right) =\alpha $

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問２ 

$xy=t$とする。

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2w)=w\frac{\partial x^2}{\partial x}+x^2\frac{\partial w}{\partial x}
=2xw+x^2\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}=2xw+x^2yw'$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(x^2w)=x^2\frac{\partial w}{\partial y}
=x^2 \frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y}=x^3w'$

$\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}(x^3w')=x^3\frac{\partial w'}{\partial y}=
x^3\frac{\partial w'}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial y}=x^4w''$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(x^3w')=
x^3\frac{\partial w'}{\partial x}+w'\frac{\partial x^3}{\partial x}=x^3\frac{\partial w'}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}+3x^2w'
=x^3yw''+3x^2w'$

よって$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}
=(2xw+x^2yw')(x^4w'')-(x^3w')(x^3yw''+3x^2w')=x^5(2ww''-3w'^2)=0$

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問３

$u=x^2+y^2\,,\,v=x^2-y^2$とする

$z(x,y)=F(x^2+y^2)=F(u)$と書けるとき

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}=2F'x
\,,\, \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}=2F'y$

よって$\displaystyle y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=0$

逆に$\displaystyle y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=0$が成立するとき

$u,v$が決まれば$x,y$が一意的に求まり、そこから$z$も求まる。よって$z(x,y)$は$u,v$の関数として$z(x,y)=F(u,v)$と書ける

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}
+\frac{\partial F}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=2x\frac{\partial F}{\partial u}+2x\frac{\partial F}{\partial v}$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}
+\frac{\partial F}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=2y\frac{\partial F}{\partial u}-2y\frac{\partial F}{\partial v}$

よって$\displaystyle y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=0$に代入して
$\displaystyle 4xy\frac{\partial F}{\partial v}=0$，さらに$x \neq 0\,,\,y \neq 0$より$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial v} =0$

$F$は$u$を固定すると$v$が変化しても値は変化しない。よって$u$の関数である

すなわち$z(x,y)=F(u)=F(x^2+y^2)$となる

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問４、問５は２００５年度解答を参照のこと。

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