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数学$I_A$前期試験　理科１類５，６，１５，２９組　（担当　上村）
\\２００３年９月３日（水）１０：５０〜１２：２０
\\両面解答用紙２枚　計算用紙１枚
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\\（注）教科書、ノート類の持ち込みはしてはいけない。

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\underline{問１}　数列$\bigl\{ a_n \bigr\} _{n=1}^{\infty}$について次の命題は正しいか誤りかを判定し，正しければ証明し誤りならば反例を挙げよ。
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（１）$\displaystyle a_n - a_{n-1} = \frac{1}{n^n} \, (n=2,3, \dots )$をみたせば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$が存在する。
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（２）$a_{n-1} + a_{n} +a_{n+1} =0 \, (n=2,3, \dots )$をみたせば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$が存在する。
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\underline{問２}　$F(x,y,z)$を微分可能な３変数関数で，$z$についての偏導関数$F_z$が$F_z (x,y,z) \neq 0$をみたすものとする。
$z=f(x,y)$が$F(x,y,f(x,y))=0$をみたすとき，次が成り立つことを示せ。
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_x}{F_z} , \,\,\, \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F_y}{F_z} \]　
ただし，$z=f(x,y)$は偏微分可能であると仮定してよい。
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\underline{問３}　$t>0$に対し，$u=\sqrt{t}\,e^{-\frac{x^2}{4t}}$とするとき，次の問に答えよ。
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（１）$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \lim_{t \to +\infty} u(x,t)$を求めよ。
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（２）$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} $を求めよ。
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（３）$\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} -2\frac{\partial ^3 u}{\partial x^2 \partial t} + \frac{\partial ^4 u}{\partial x^4} $を求めよ。
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\underline{問４} $|x|$が十分大きな実数$x$に対し，$\displaystyle x-x^2 \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{x^n}$
が成り立つように，数
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列$a_n \, (n=0,1, \dots )$を定めよ。また，この式が成り立つ$x$の条件を記せ。
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\underline{問５}　関数$f(x,y)=x^3-xy+y^2$の極値を求めよ。
 
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問１

（１）正しい：$n\geq 2$より$\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=\frac{1}{n^n}\leq \frac{1}{n^2}$ 
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１，コーシーの判定法

$n>m>N$として$ \displaystyle |a_n-a_m|=|a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-a_{n-2}+\dots +a_{m+1}-a_m| \\
\leq |a_n-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}|+\dots+|a_{m+1}-a_{m}| \\
< \frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n-1)^2}+\dots+\frac{1}{(m+1)^2} \\
< \frac{1}{n(n-1)}+\frac{1}{(n-1)(n-2)}+\dots+\frac{1}{(m+1)m} \\
=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}-\dots-\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m} \\ 
=\frac{1}{m}-\frac{1}{n} \\ 
<\frac{1}{m}$

よって$\forall \varepsilon >0$に対して$\displaystyle N>\frac{1}{\varepsilon}$と自然数$N$をとれば
$\displaystyle n>m>N \Rightarrow |a_n-a_m|<\frac{1}{m}<\frac{1}{N}<\varepsilon$となる。

よってコーシーの判定法より$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束し,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$が存在する。
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２，上に有界な単調増加数列は収束する

$\{a_n\}_{n=N}^{\infty}$は単調増加数列

$ \displaystyle a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\dots +(a_{2}-a_1)+a_1 \\
< \frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n-1)^2}+\dots+\frac{1}{(2)^2} +a_1 \\
< \frac{1}{n(n-1)}+\frac{1}{(n-1)(n-2)}+\dots+\frac{1}{2 \times 1} +a_1 \\
=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}-\dots -\frac{1}{2}+1 +a_1 \\
=1+a_1-\frac{1}{n}<1+a_1$

よって$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$は上に有界かつ単調増加数列なので$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束し$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$が存在する。

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（２）

誤り：反例は $a_n= \left( \begin{array}{cl} 
1 & nを3で割ると1余るとき \\
 1 & nを3で割ると2余るとき \\
 -2 & nが3で割り切れるとき 
\end{array} \right.$
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問２ 

$s=x,t=y$とおいて$G(x,y)=F(x,y,f(x,y))=F(s,t,z)$とする

$G(x,y)$を$x$で偏微分して

$\displaystyle \frac{\partial G}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial t}
\frac{\partial t}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}
=F_x \cdot 1 +F_y \cdot 0 + F_z \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=F_x+F_z\frac{\partial z}{\partial x}$

$G(x,y)=0$より$\displaystyle \frac{\partial G}{\partial x}=0$

よって$\displaystyle F_x+F_z\frac{\partial z}{\partial x}=0$となるので$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$が導かれる。

同様に$G(x,y)$を$y$で偏微分して$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$が導かれる。
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問３

（１）$\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \sqrt{t}=\infty \, ,\, \lim_{t \to +\infty} e^{-\frac{x^2}{4t}}=1$

よって$\displaystyle \lim_{t \to +\infty} u(t,x)=\infty$
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（２）$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2\sqrt{t}}e^{-\frac{x^2}{4t}} +\frac{x^2}{4t\sqrt{t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{x}{2\sqrt{t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$

$\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=-\frac{1}{2\sqrt{t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}+\frac{x^2}{4t\sqrt{t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$

よって$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} =\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$
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（３）$u$は$C^3$級だから$\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}-2\frac{\partial ^3}{\partial x^2 \partial t} +
\frac{\partial ^4}{\partial x^4}=\frac{\partial }{\partial t} \left( \frac{\partial u}{\partial t} -\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} \right)
-\frac{\partial ^2}{\partial x^2} \left( \frac{\partial u}{\partial t} -\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right)$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial t} \left( \frac{\partial u}{\partial t} -\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} \right)
 =\frac{\partial }{\partial t} \left( \frac{1}{\sqrt{t}} e^{-\frac{x^2}{4t}} \right)$

$\displaystyle =-\frac{1}{2t\sqrt{t}}e^{-\frac{x^2}{4t}} +\frac{x^2}{4t^2\sqrt{t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$

$\displaystyle \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \left( \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \right) 
=\frac{\partial ^2}{\partial x^2} \left( \frac{1}{\sqrt{t}} e^{-\frac{x^2}{4t}} \right)$

$\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x} \left( -\frac{x}{2t\sqrt{t}} e^{-\frac{x^2}{4t}} \right)$

$\displaystyle =-\frac{1}{2t\sqrt{t}} e^{-\frac{x^2}{4t}} + \frac{x^2}{4t^2\sqrt{t}} e^{-\frac{x^2}{4t}}$

よって$\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}-2\frac{\partial ^3 u}{\partial x^2 \partial t}+\frac{\partial ^4 u}{\partial x^4} =0$
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問４

$|x|$が十分大きいと$\displaystyle -1<\frac{1}{x}\leq 1$

よって$\displaystyle \log(1+\frac{1}{x}) =\frac{1}{x}-\frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} \right) ^2 +\frac{1}{3} \left( \frac{1}{x} \right) ^3-\dots
+(-1)^{n+1} \frac{1}{n}\left( \frac{1}{x} \right) ^n +\dots=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{nx^n}$

$\displaystyle x-x^2\log (1+\frac{1}{x})=x-x^2\sum_{n=1}^{\infty}  \frac{(-1)^{n+1}}{nx^n}=x+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{nx^{n-2}}
=x -x +\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{nx^{n-2}} \\ =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+2)x^n}$（$n\longrightarrow n+2$とおきかえた） 
よって$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n+2}$

式が成立する$x$の範囲は$\displaystyle -1<\frac{1}{x}\leq 1$より$x<-1,1\leq x$ 

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問５

$f_x(x,y)=3x^2-y,\,f_y(x,y)=-x+2y$

よって$f_x(x,y)=0$かつ$f_y(x,y)=0\,\,\Leftrightarrow \,\,3x^2-y=0$かつ$-x+2y=0$

これより極値を取る点の候補は$\displaystyle (x,y)=(0,0),(\frac{1}{6},\frac{1}{12})$

$f_{xx}=6x,f_{xy}=-1,f_{yy}=2$

これより$Hesse$行列$H$は、$H=\left( \begin{array}{cc} 6x & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$

$(x,y)=(0,0)$では$H=\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$

$ab-h^2=-1<0$

$(0,0)はfのsaddle\,point$

$\displaystyle (x,y)=(\frac{1}{6},\frac{1}{12})$では$H=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$

$ab-h^2=1>0$で$a>0$

$\displaystyle f( \frac{1}{6},\frac{1}{12}) =-\frac{1}{432}だから、fは(\frac{1}{6},\frac{1}{12}) で極小値-\frac{1}{432}をとる。$

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